Question

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DE并延长线于G．（1）求证：

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DE并延长线于G．（1）求证：BD=CG；（2）若CE=1，CG=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，OB，EO，FO，
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴DO⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，EO=FO，BD=BE，
∴四边形EOFC是正方形，
∴EO=FO=EC=FC，
∴DO=EC，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠BDE+∠ODE=90°，∠ODE+∠DOB=90°，
∴∠BDE=∠DOB，
∴∠GEC=∠BOD，
∵在△BOD和△GEC中，

∠GEC＝∠DOB EC＝DO ∠GCE＝∠BDO

，
∴△BOD≌△GEC（ASA），
∴BD=CG；

（2）解：由（1）可得出：EC=FC=1，
CG=BD=BE=2，
∴BC=3，设AD=AF=x，
则3²+（x+1） ²=（x+2） ²，
解得：x=3．
故AD的长为：3．