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(1)已知:如图1,△ABC是⊙O的内接正三角形,点P为弧BC上一动点,求证:PA=PB+PC;(2)如图2,四边形A
(1)已知:如图1,△ABC是⊙O的内接正三角形,点P为弧BC上一动点,求证:PA=PB+PC;(2)如图2,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P为弧BC上一动点,求证...
(1)已知:如图1,△ABC是⊙O的内接正三角形,点P为弧BC上一动点,求证:PA=PB+PC;(2)如图2,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P为弧BC上一动点,求证:PA=PC+2PB;(3)如图3,六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,点P为弧BC上一动点,请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系,并给予证明.
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1个回答
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解答:证明:(1)延长BP至E,使PE=PC,
连接CE.∵A、B、P、C四点共圆,
∴∠BAC+∠BPC=180°,
∵∠BPC+∠EPC=180°,
∴∠BAC=∠CPE=60°,PE=PC,
∴△PCE是等边三角形,
∴CE=PC,∠E=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP,
∵△ABC、△ECP为等边三角形,
∴CE=PC,AC=BC,
∴△BEC≌△APC(SAS),
∴PA=BE=PB+PC.(2分)
(2)过点B作BE⊥PB交PA于E.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3,
∴∠APB=45°,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/50da81cb39dbb6fd048452a20a24ab18962b3752?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∴BP=BE,∴PE=
PB;
又∵AB=BC,
∴△ABE≌△CBP,
∴PC=AE.
∴PA=AE+PE=PC+
PB.(4分)
(3)答:PA=PC+
PB;
证明:过点B,作BM⊥AP,在AP上截取AQ=PC,
连接BQ,∵∠BAP=∠BCP,AB=BC,
∴△ABQ≌△CBP,
∴BQ=BP.
∴MP=QM,
又∵∠APB=30°,
∴cos30°=
,
∴PM=
PB,
∴PQ=
PB
∴PA=PQ+AQ=
PB+PC(7分)
连接CE.∵A、B、P、C四点共圆,
∴∠BAC+∠BPC=180°,
∵∠BPC+∠EPC=180°,
∴∠BAC=∠CPE=60°,PE=PC,
∴△PCE是等边三角形,
∴CE=PC,∠E=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP,
∵△ABC、△ECP为等边三角形,
∴CE=PC,AC=BC,
∴△BEC≌△APC(SAS),
∴PA=BE=PB+PC.(2分)
(2)过点B作BE⊥PB交PA于E.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3,
∴∠APB=45°,
∴BP=BE,∴PE=
2 |
又∵AB=BC,
∴△ABE≌△CBP,
∴PC=AE.
∴PA=AE+PE=PC+
2 |
(3)答:PA=PC+
3 |
证明:过点B,作BM⊥AP,在AP上截取AQ=PC,
连接BQ,∵∠BAP=∠BCP,AB=BC,
∴△ABQ≌△CBP,
∴BQ=BP.
∴MP=QM,
又∵∠APB=30°,
∴cos30°=
PM |
BP |
∴PM=
| ||
2 |
∴PQ=
3 |
∴PA=PQ+AQ=
3 |
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