Question

设单增光滑曲线y=y（x）位于第一象限，当x＞0时，在区间[0，x]上以y=y（x）为曲边的曲边梯形绕x轴旋转一

设单增光滑曲线y=y（x）位于第一象限，当x＞0时，在区间[0，x]上以y=y（x）为曲边的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体积值曲线V（x）与该曲边梯形的面积值S（x）之比为35πy（x），且曲线y=y（x）过点（1，1），求曲线y=y（x）的方程．

Answer 1

依题意，S(x)＝

∫

x 0

ydx，V(x)＝π

∫

x 0

y2dx
而V（x）与S（x）之比为

3

5

πy（x），即：
π

∫

x 0

y2dx＝

3

5

πy

∫

x 0

ydx
∴两边对x求导，得
πy2＝

3

5

π(y′

∫

x 0

ydx+y2)
由于y'显然不等于0，因此

2

3

y2

y′

＝

∫

x 0

ydx
两边继续对x求导，得

2

3

2y(y′)2?y2y″

(y′)2

＝y
化简得
2yy″=（y'）²
令y'=p
则2y

dp

dy

＝p
解得：p＝C1

y

∴

dy

dx

＝C1

y

∴

y

＝C2x+C3
又曲线通过（1，1）
∴C₂=1-C₃
∴

y

＝Cx+(1?C)
由于y＞0，且单增
∴0＜C＜1