（2014?梧州模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率为32，过F1的直
（2014?梧州模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率为32，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8．...
（2014?梧州模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率为32，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与椭圆E的右准线交于点Q，问在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．
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（1）由△ABF2的周长为8，得4a=8，解得a=2，
由离心率为
，得
＝
，解得c=
，
∴b2=4-3=1，
∴椭圆E的方程为
+y2＝1．
（2）由
，得方程（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
由直线与椭圆相切，得△=0，
∴4k2-m2+1=0，
求得P（-
，
），椭圆E的右准线为x=
，
∴Q（
，
+m），
假设平面内存在定点M满足条件，
设点M坐标为M（x1，0），
=（-
?x1，
），
=（
?x1，
+m），
由
?
＝0，得（-
?x1）（
?x1）+
(
+m)=0，
∴
(x1?
由离心率为
| ||
| 2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴b2=4-3=1，
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）由
|
由直线与椭圆相切，得△=0，
∴4k2-m2+1=0，
求得P（-
| 4k |
| m |
| 1 |
| m |
| 4 | ||
|
∴Q（
| 4 | ||
|
| 4k | ||
|
假设平面内存在定点M满足条件，
设点M坐标为M（x1，0），
| MP |
| 4k |
| m |
| 1 |
| m |
| MQ |
| 4 | ||
|
| 4k | ||
|
由
| MP |
| MQ |
| 4k |
| m |
| 4 | ||
|
| 1 |
| m |
| 4k | ||
|
∴
| 4k |
| m |
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