Question

如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为5个单位长度．点P为直线y=-

如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为5个单位长度．点P为直线y=-x+4上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）如图乙，若直线y=-x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（3）求点P的坐标；（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=-x+4相交时圆心O的横坐标m的取值范围．

Answer 1

（1）四边形OCPD为正方形，证明如下：
连接OC、OD，如图1，

∵PC、PD为⊙O的切线，
∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，
∴四边形OCPD为矩形，
又由切线长定理可得PC=PD，
∴四边形OCPD为正方形；
（2）设直线y=-x+b与圆交与点E，F，
若直线y=-x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，
则∠EOF=90°，
∴OE=OF=|b|，
∴|b|=

5

，
解得b=±

5

；
（3）因为点P在直线y=-x+4上，所以可设P点坐标为（x，-x+4），
连接OP，如图2，在Rt△OCP中，由（1）可知OC=PC=

5

，

所以可求得OP=

10

，即x²+（-x+4）²=（

10

）²，
解得x=1或x=3，
所以P点的坐标为（1，3）或（3，1）；
（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O′与直线y=-x+4相切，切点为D，如图3，

∴O′D⊥AB，
由直线y=-x+4可知A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴△O′AD是等腰直角三角形，
∴O′D=AD=

5

，
∴O′A=

10

，
∴OO′=4-

10

或4+

10

，
∴当⊙O与直线y=-x+4相交时圆心O的横坐标m的取值范围为：4-

10

＜m＜4+

10

．