Question

高中立体几何证明

Answer 1

分析：
因为B1C1与A1M垂直，所以，只要证明A1M与AC1垂直，就能证明A1M与平面AC1B1垂直，进而证明A1M与AB1垂直。
证明：
直三棱柱内，角A1C1B1=角ACB=90°，即，B1C1与A1B1垂直，
直三棱柱内，CC1与平面A1C1B1垂直，所以，CC1与B1C1垂直，
所以，B1C1与平面ACC1A1垂直，
所以，B1C1与A1M垂直...................................................................(1)
依题意，在RT三角形A1C1B1内，A1C1=C1B1/tan30°=√3，
直三棱柱，四边形ACC1A1是矩形，
角AA1C1及角CC1A1都是直角，
M是CC1中点，所以，MC1=CC1/2=(√6)/2
MC1/A1AC1=1/√2=A1C1/AA1
所以，RT三角形A1C1M与RT三角形AA1C1相似，
所以，角MA1C1=角A1AC1
而角A1AC1+角A1C1A=90°
所以，角MA1C1+角A1AC1A=90°
即，A1M与AC1垂直，.....................................................................(2)
综合(1)、(2)可知，A1M与平面AC1B1垂直，
所以，A1M与AB1垂直。