Question

一道考研高数微分方程（非齐次求通解） 求解惑

如下题。为什么不能加题目已给的一个解，而是自己算出来的那个解。都是非齐次方程的一个解啊

设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γe^x的一个特解为y=e^(2x)+（1+x）e^x，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解
解答：把这个特解带入原方程，解出α=-3 β=2 γ=-1
再用非齐次方程求一个特解y*=xe^x，加到齐次方程的通解上即为非齐次方程的通解
但是，这道题题后有个评注，为什么要用求出来的y*=xe^x，而不用题目中已知的特解呢？
按照一般步骤自己做出来是没问题，被这么一问也无法解答。
求大神解惑！谢谢！！

Answer 1

对这一题，可以，但你需作出说明：
因为特征根为2, 1, 方程右端为-e^x, 因此特解形式y*=axe^x,
因此从已知特解中的(1+x)e^x项，可以分解为e^x+xe^x
对比通项及特解，可以得知e^x为通解项，xe^x为特解项。