Question

如图，AB为○O的直径，D为弧AB的中点，C为弧AD上一点，弦CD=根号2，I为三角形ABC的内心。

如图，AB为圆O的直径，D为弧AB的中点，C为弧AD上一点，弦CD=根号2，I为三角形ABC的内心。
（1）求BC-AC的值。
（2）过I作IE⊥AB于E，设BE=m，AE=n，求m-n的值。
（3）在(2)的条件下，若m、n是关于x的一元二次方程x^2-kx+2k-1的两根，求IE的长。

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Answer 1

圆的半径没有给的吗?

追问

圆的半径为r

追答

(1)连接AD,并在BC上截取BF=AC,连接DF
∵D是弧AB的中点,∴AD=BD
∵∠CAD=∠FBD,AC=FB,∴△ACD≌△BFD(SAS)
∴CD=DF,∠ADC=∠BDF
∴∠ADC+∠ADF=∠BDF+∠ADF
即∠CDF=∠ADB=90°,∴CF=√2CD=2
∴BC-AC=BC-BF=CF=2
(2)作△ABC的内切圆I,圆I分别和AC,BC交於M,N,切线长定理得CM=CN,AM=AE,BN=BE
∴m-n=BE-AE=BN-AM=(BC-CN)-(AC-CM)=BC-AC-CN+CM=BC-AC=2
(3)根据题意得m+n=k,mn=2k-1
∵(m+n)²-4mn=(m-n)²
即k²-8k+4=4,k=0或8
当k=0时,x²-1=0,x=±1不符合题意
当k=8时,x²-8x+15=0,x=3或5,∴m=5,n=3
∵∠MCN=∠CMI=∠CNI=90°,IM=IN,∴四边形CMIN是正方形
∴设IE=IM=CM=CN=x,则AC=AM+CM=3+x,BC=BN+CN=5+x
勾股定理得(3+x)²+(5+x)²=64,解得x=√31-4

Answer 2

感觉还缺一个条件，比如半径的大小是多少
或者是我水平有限，帮不到你

追问

设圆的半径为r