Question

已知函数f(x)=2lnx-ax+a

（1）讨论f(x)的单调性
（2）试确定a的值,使得f（x）≤0恒成立

Answer 1

1）f'(x)=2/x-a
定义域为x>0
当a<=0时，f'(x)>0, f(x)在定义域x>0上单调增；
当a>0时，f(x)有极大值点x=2/a, 当0<x<2/a时，f(x)单调增；当x>2/a时，f(x)单调减。

2) 当a<=0时， f(x)单调增，而f(1)=0, 因此当x>1时， 有f(x)>0, 不符题意；
当a>0时，f(x)有极大值f(2/a)=2ln(2/a)-2+a<=0, 即2lna-a>=2ln2-2
记g(a)=2lna-a, 则同样g'(a)=2/a-1=0,得a=2, 故g(a)的最大值为g(2)=2ln2-2
所以不等式2lna-a>=2ln2-2的解只有a=2
综合得：a=2

Answer 2