Question

圆筒定轴转动惯量公式怎样积出来的

Answer 1

先看中空薄圆板对中心垂直轴的转动惯量

面积元dS

dS=rdrdθ

dm=mdS/π(R2²-R1²)=[m/π(R2²-R1²)]rdrdθ

则  J=∫dm r²=[m/π(R2²-R1²)]∫dθ∫r³dr

θ的积分区间 0--->2π,  r积分区间 R1--->R2

代入积分上下限 积分可得 ：J =[2m/(R2²-R1²)][(R2^4-R1^4)/4]=m(R2²+R1²)/2

圆筒可以看成很多个这样的圆板 同轴 并在一起，所以 圆筒的转动惯量等于 所有圆板的转动惯量的总和，即  J=M(R2²+R1²)/2

扩展资料：

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

参考资料来源：百度百科-转动惯量

Answer 2

先看中空薄圆板对中心垂直轴的转动惯量 

取如图面积元dS

dS=rdrdθ

dm=mdS/π(R2²-R1²)=[m/π(R2²-R1²)]rdrdθ

则  J=∫dm r²=[m/π(R2²-R1²)]∫dθ∫r³dr

 θ的积分区间 0--->2π,  r积分区间 R1--->R2

代入积分上下限 积分可得 ：J =[2m/(R2²-R1²)][(R2^4-R1^4)/4]=m(R2²+R1²)/2

圆筒可以看成很多个这样的圆板 同轴 并在一起，所以 圆筒的转动惯量等于 所有圆板的转动惯量的总和，

即  J=M(R2²+R1²)/2

追问

要用多元积分？

追答

那要看你所取的面积元而定了。如果像我这样去面积元，就得用 二重积分
如果取一个宽为 dr 半径为r的圆环 做面积元，就不用 二重积分了。

追问

二次元没学，你帮我弄个一元的嘛

一元想半天也想不通

算的乱七八糟，dR2都出来了

追答

dS=2πrdr