Question

设函数fx=㏑x–ax+[(1-a)/x]–1 (1)当a=1时，求曲线fx在x=1处的切线方程

(2)当a=1/3时，求函数fx的单调区间

Answer 1

当a=1时，fx=㏑x-x-1，
切线方程为fx’|（a=1）=1/x-1.
切线方程就是求导数，
㏑x’=1/x，
ax’=a，
x^a=ax^(a-1),
两个带x的函数相乘，导数是函数一求导与函数二相乘+函数二求导与函数一相乘，例（ax*㏑x）’=a㏑x+a

Answer 2

1) a=1, f(x)=lnx-x-1
f(1)=-1-1=-2
f'(x)=1/x-1
f'(1)=1-1=0
在x=1处的切线为y=-2

2) a=1/3， f(x)=lnx-(1/3)x+(2/3)/x-1
f'(x)=1/x-1/3-(2/3)/x²=(3x-x²-2)/(3x²)=-(x-1)(x-2)/(3x²) , 得极值点x=1, 2
定义域为x>0,
单调增区间：(1, 2)
单调减区间：(0, 1)U(2, +∞)