Question

求生成子空间的一组基与维数

设f1(x)=x-2,f2(x)=2x,f3(x)=1-x,f4(x)=x^2∈p[x]3,求生成子空间L(f1(x),f2(x),f3(x),f4(x))的一组基与维数。

Answer 1

生成子空间的维数=向量组的秩。

要求向量组的秩，可以写成矩阵，然后施行行初等变换，化成右上三角阶梯形，

非0的行数=秩。

这个可以把2×2的矩阵同构成4×1的向量，4个向量构成一个向量矩阵，对向量矩阵进行初等变换，得到主元所在的位置，就是它的基所在的向量，再把向量转换为对应的2×2的矩阵，那么这些2×2的矩阵就是子空间的基了，基的数目就是子空间的维数。

重要性质

如果α1，α2，···，αm线性无关，则其为生成子空间Span{α1，α2，···，αm }的一组基；

如果α1，α2，···，αr是向量组α1，α2，···，αm的最大线性无关组，则

Span{α1，α2，···，αm }= Span{α1，α2，···，αr}

α1，α2，···，αr是Span{α1，α2，···，αm }的一组基

以上内容参考：百度百科-生成子空间

Answer 2

生成子空间的维数 = 向量组的秩 。

要求向量组的秩，可以写成矩阵，然后施行行初等变换，化成右上三角阶梯形，

非 0 的行数 = 秩 。

Answer 3

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。