Question

二维随机变量中，已知概率密度求分布函数，积分上下限如何确定？求边缘概率密度时积分上下限如何确定？

Answer 1

假设X,Y是两个随机变量，F(X,Y)是它们的联合分布函数，f(x,y)是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P(x)，P(x)。

首先，F(X,Y)=P(x<=X,y<=Y)，即，它表示的是一个点 (x,y)落在区域 {x<=X,y<=Y} 内的概率，那么写成积分的形式就是:

F(X,Y)=∫[-infinity<x<=X]∫[-infinity<y<=Y]f(x,y)dxdy;

注意这里面的积分上限分别是x,y，积分下限都是“-无穷”，而在具体的问题中，积分上下限可能会有改变。

扩展资料

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。

可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

Answer 2

假设X,Y是两个随机变量，F(X,Y)是它们的联合分布函数，f(x,y)是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P(x)，P(x)。

现在已知f(x,y)如何去求F(X,Y)?

首先，我们要弄清楚F(X,Y)的含义。F(X,Y)=P(x<=X,y<=Y)，即，它表示的是一个点 (x,y)落在区域 {x<=X,y<=Y} 内的概率，那么写成积分的形式就是:

F(X,Y)=∫[-infinity<x<=X]∫[-infinity<y<=Y]f(x,y)dxdy;

注意这里面的积分上限分别是x,y，积分下限都是“-无穷”，而在具体的问题中，积分上下限可能会有改变，比方说，如果我们知道在x<=0,y<=0时有f(x,y)=0，那么我们的积分下限就不用取到 "-无穷"，即：

F(X,Y)=∫[0<x<=X]∫[0<y<=Y]f(x,y)dxdy；

实际上这就是个普通的二重积分，积分区域是 {x<=X,y<=Y}, 被积函数是 f(x,y)。再比如： f(x,y)只在单位圆 x^2+y^2=1内部有定义，那么F(X,Y)的积分区域就是 {x<=X,y<=Y}与 单位圆 x^2+y^2=1的交。具体问题具体对待。没有通用的公式。

现在已知 f(x,y)如何去求边缘密度P(x),P(y)?
以P(x) 【对P(y)的讨论类似】为例这里面有如下公式：

P(x)=∫[-infinity<y<infinity]f(x,y)dy，

这里面我们把积分上下限统取为 "正负无穷"，实际上这里面的 y的取值范围也是由被积函数 f(x,y)的取值范围决定的。比方说，如果 f(x,y)只在单位圆 x^2+y^2=1 上有值，在其他地方的值为0，那么我们可以反解出 y，即： -sqrt(1-x^2)<y<sqrt(1-x^2)，从而得出

P(x)=∫[-sqrt(1-x^2)<y<sqrt(1-x^2)]f(x,y)dy；

实际上，这里面我们计算的是二重积分的的一重累次积分，而累次积分的积分上下限是由这个二重积分的积分区域来决定的。

Answer 3

从概率密度求分布函数，积分限由概率密度非零部分定义决定。求边缘分布密度积分时把联合密度中另一个变量所有非零情况都积分。