Question

确定二重积分∫∫(1-x²-y²)^1/3 D=｛(x,y)|x²+y²<=4｝的符号

Answer 1

使用极坐标来积分，
x=r *cosa，y=r *sina
那么x²+y²<=4
即r^2<=4，r的范围是[0,2]
所以原积分=∫(1-r²)^(1/3) *r dr *∫(0到2派)da
显然∫(1-r²)^(1/3) *r dr
= -1/2 *∫(1-r²)^(1/3) d(1-r²)
= -3/8 *(1-r²)^(4/3) 代入r的上下限2和0
= -3/8 *(-3)^(4/3) +3/8
而(-3)^(4/3) >1
故 -3/8 *(-3)^(4/3) +3/8 <0
所以此积分为负值