Question

sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC最小值

锐角三角形

Answer 1

答案应该是8，而不是3根号3。
做成3根号3，没用到条件sina=2sinbsinc，忽视了等号能否取到。
事实上，A、B、C都是60度时， sina=2sinbsinc不成立，不满足条件。
正确解答如下：
在锐角三ΔABC中
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
由已知sinBcosC+cosBsinC=2 sinBsinC
tanB+tanC=2tanBtanC (1)
tanA=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
tanA=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) (2)
其中tanA,tanB,tanC都是正数.
tanAtanBtanC
=((tanB+tanC)/(tanBtanC-1))tanBtanC
=(2tanBtanC/(tanBtanC-1))tanBtanC
=2(tanBtanC)²/(tanBtanC-1)
设 m=tanBtanC-1,则m>0
tanAtanBtanC=2(m+1)²/m
=2(m+(1/m))+4
≥4+2·2√(m·(/1m))
=8
当 m=tanBtanC-1=1 即tanBtanC=2时取"="
此时tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4
所以 tanAtanBtanC的最小值是8
(在tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4时取到)

Answer 2

我想问一下，A、B、C是不是锐角三角形的三个内角?
依三角恒等式“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”得，
tanAtanBtanC≤[(tanA+tanB+tanC)/3]³
=[(tanAtanBtanC)/3]³
tanAtanBtanC≥3√3.
∴A=B=C=60°时，
所求最小值为3√3。