Question

某厂生产甲乙两种产品，当产量分别为x,y时，总成本函数c(x,y)=2x²-2xy＋y²

＋37.5若两种产品的销售价与产量有关。设甲产品为P1＝70－2x－3y。乙产品销售价为P2＝110－3x-5y

Answer 1

据题意，产量为x、y的产品，其价格函数分别为p1=100-2x，p2=80-5y。
∴利润函数L（x，y）=p1*x+p2*y-c(x,y)=(100-2x)x+(80-5y)y-(2x²+y²+2xy+100)=100x-4x^2+80y-6y^2-2xy-100。利用拉格朗日函数求最大利润及其产量。设F(x,y)=100x-4x^2+80y-6y^2-2xy-100+λ(30-x-y)，分别对x，y，λ求导，并令其为0。F'x(x,y)=100-8x-2y-λ=0，F'y(x,y)=80-12y-2x-λ=0，F'λ(x,y)=30-x-y=0，解得x=20，y=10，最大利润=100。