Question

高数，微分方程，

题目是:验证下列各函数是否为同一行的微分方程的解，若是解，指出是不是通解。

Answer 1

∴(1)是微分方程(2)的解，但不是通解。

下面求xy'-y=xsinx的通解：

先求齐次方程 xy'-y=0的通解：

分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得lny=lnx+lnc=lncx；

故齐次方程的通解为：y=cx；将c换成x的函数u，得y=ux.........①

取导数得：y'=u+u'x........②；将①②代入原方程得：x(u+u'x)-ux=xsinx;

化简得u'x²=xsinx；即u'=(sinx)/x；故u=∫[(sinx)/x)]dx；

代入①式即得原方程的通解为：y=x∫[(sinx)/x)]dx；或写成：

【此积分包含有任意的积分常数。但此积分不能表为有限形式，也就是积不出来。】

Answer 2

y=x∫（0，x）sint/t×dt
求导，代入即可：
y'=∫（0，x）sint/t×dt+x（sinx/x）=∫（0，x）sint/t×dt+sinx
代入：
xy'-y
=x∫（0，x）sint/t×dt+xsinx-∫（0，x）sint/t×dt=xsinx
是解。但是不是通解。把积分下限换成常数a，就是通解了。

追问

为啥把积分下限换成a就变成通解了？我看答案写的通解是:y=－cosx＋(sinx＋常数)/x啊

追答

积分=原函数（上限）-原函数（下限）
=原函数（x）-原函数（0）
后面一个看成常数，就是积分常数。积分常数是可以任意的。
其实用0也是可以的，也应该算通解。因为积分常数就在原函数里面，原函数（0）也包含了积分常数。

其实，也不一定原函数（0），任意原函数（a）都可以。只要有定义。