Question

高数类试题，求解析。

高数类试题，求解析。求详细解答。

Answer 1

1. 令 f(x) = x^3 - 3x - 1, 则 f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1),
在 (1, 2) 内 f'(x) > 0, 函数单调增加。
f(1) = -3 < 0, f(2) = 1 > 0, 则 f(x) 在 [1, 2] 内只有一个实根。
2. 令 f(x) = e^x - 1 - x, g(x) = e^x - 1 - xe^x
则 f'(x) = e^x - 1, g'(x) = e^x - e^x -xe^x = -xe^x
当 x > 0 时， f'(x) > 0, g'(x) < 0,
f(x) 单调增加, g(x) 单调减少， f(0) = g(0) = 0,
则 当 x > 0 时，f(x) > 0, g(0) < 0,
即当 x > 0 时, e^x - 1 > x, e^x - 1 < xe^x. 得证。

Answer 2

Answer 3

如图

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