Question

数论中素数的一个证明题

证明：若2^n+1是素数，则n是2的乘幂。
其中2^n表示2的n次方。

求牛人证明，十分感谢！

Answer 1

当n不是2的乘幂是,它一定是个奇数,2^n+1可以表示为 2^(2m+1)+1 ,的形式,两个数的奇数次幂之和,可以分解因式.

即2^(2m+1)+1=(2+1)(2^(2m)-2^(2m-1)+2^(2m-2)+2^(2m-3)+1^(2m)),即可以分解成两个都不为1的数的乘积,与原来是素数的假设矛盾.

Answer 2

x^(2m+1)=(x+1)(x^2m-x^(2m-1)+...-x+1)
所以x>1 m>0时 上面的数是合数

现在假设n不是2的乘幂 则n存在奇数因子p(p>2)
2^n+1=(2^(n/p))^p+1
由上面知是合数

n=2^k k小的那几个2^n+1是素数 k大一点点好像就不是了这样的素数好像还有名字

Answer 3

幂 不应该是2的几次方吗。。。 和2的倍数这个概念有相背的吧。。。

感觉反正法可能是条出路。 继续上班ING。