Question

如何用数学归纳法证明二项式定理？

Answer 1

先验证1次方……
再假设k次方……
最后k+1时改成k次方乘以（a+b）带入上一步假设的利用多项式乘法解决问题。

例：证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝桥敬C01a+C11b=a+b

左边＝右边

假设当n＝k时，等式成立，

即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十敏辩慎Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]＝灶搭[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立

Answer 2

证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…弯拍十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b
＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式好态都成友闹源立