Question

为什么sinx和cosx的区间在-1到1是只有在单位圆的时候才是这个区间吗？

Answer 1

因为(-cosx)^2+(sinx)^2=1,对任意x，(-cosx,sinx)这个点对应的向量的模值始终为1 想象xy坐标平面上一条线段，一个端点在坐标轴原点保持不变，另一个端点是(-cosx,sinx)，x从0开始逐渐变大。这条线段就绕着原点旋转，且长度不变，始终为1，也就是(-cosx,sinx)始终在单位圆上。

Answer 2

先求不定积分
∫1/sinx dx
=∫sinx/sin²xdx
=-∫1/sin²xdcosx
=-∫1/(1-cos²x)dcosx
=∫1/(cosx+1)(cosx-1)dcosx
=∫[1/(cosx-1)-1/(cosx+1)]/2dcosx
=[∫1/(cosx-1)dcosx-∫1/(cosx+1)dcosx]/2
=[∫1/(cosx-1)d(cosx-1)-∫1/(cosx+1)d(cosx+1)]/2
=(ln|cosx-1|-ln|cosx+1|)/2+C
=ln√|(cosx-1)/(cosx+1)|+C
=ln√|(cosx-1)²/(cosx+1)(cosx-1)|+C
=ln√|(cosx-1)²/(cos²x-1)|+C
=ln√|-(cosx-1)²/sin²x|+C
=ln|(cosx-1)/sinx|+C
=ln|tan(x/2)|+C
根据瑕积分的定义，可知x=0为瑕点
所以∫(-1，1)上的定积分
=∫(-1，ξ)+ ∫(ξ，1)，且ξ→0
所以原式
=lim ξ→0 ln|ξ|-lntan(1/2)+lntan(1/2)-ln|ξ|
=-∞-(-∞)
=不存在
∞不是一个数，不能进行运算，这个只能算出是不存在，但无法算出具体值，所以这个积分是发散的。或者说ln0本身就是无定义发散的，积分本身就是不存在的，两者不能进行加减运算。