Question

设平面区域D由极坐标系下的曲线ρ=2,ρ=2(1+cosθ)围成

设平面区域D由极坐标系下的曲线ρ=2,ρ=2(1+cosθ)围成(在曲线ρ=2之外，曲线ρ=2(1+cosθ)之内)，求平面区域D的面积。

Answer 1

求由圆ρ=2与心脏线ρ=2(1+cosθ)所围成图形的面积

解：令2(1+cosθ)=2，得1+cosθ=1，cosθ=0，故θ=±π/2；故所围面积S:

Answer 2

S=2∫(0,½π)½·[2²(1+cosθ)²-2²]dθ

=4∫(0,½π)[(1+cosθ)²-1]dθ

=4∫(0,½π)[2cosθ+cos²θ]dθ

=4∫(0,½π)[2cosθ+½(cos2θ+1)]dθ

=4[2sinθ+¼sin2θ+½θ]|(0,½π)

=4[2+¼π]

=8+π