Question

∫(nπ,0)√(1-sin2x) dx

换元后的上下限是3/4π，-π/4，为什么原函数求出来以后的上下限就变成（π，0）

Answer 1

∵1-sin2x=(sinx-cosx)²，sinx-cosx=(√2)sin(x-π/4)，
∴原式=∫(0,nπ)丨sinx-cosx丨dx=(√2)∫(0,nπ)丨sin(x-π/4)丨dx。
令θ=x-π/4，有θ∈[-π/4,nπ-π/4]。再依据n的取值，去绝对值号、求出结果。
供参考。

追问

但是我看不出n取什么值上下限会变成（π，0），就算加上周期π

追答

当n=1时，θ∈[-π/4,3π/4]，未换元时，x∈[0,π]。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

1－sin2x＝sin²x＋cos²x－2sinxcosx＝（sinx－cosx）²。√（1-sin2x）＝|sinx－cosx|＝√2|sinxcosπ/4－cosxsinπ/4|＝√2|sin（x－π/4）|。然后对n进行分类讨论。因为要去绝对值。

Answer 4

因为根号1-sin 2x =|sinx-cosx|,
上下线会变为(nπ/2,0)
n为偶数的时候
上下线变为(π，0)

追问

能解释一下为什么上下限会变成（nπ/2，0）吗

追答

因为出来就是x啦

追问

辅助角公式之后变成根号2sin(x-π/4），换元之后不是【-π/4,nπ-π/4】吗

追答

为啥你要这样子换

直接开根号就出来了啊

追问

好的，谢谢

追答

嗯嗯

Answer 5

这是原题目吗？

追问

是

追答