Question

求一道数学参数方程题

Answer 1

(1) 直线方程 ：4(x-2)-3(y+1)=(12/5)t-(12/5)t=0
直线的直角坐标方程为：4x-3y-11=0
曲线方程：(x/2)^2+y^2=(cos t)^2+(sin t)^2=1
曲线为椭圆，直角坐标方程为 (x^2/4)+y^2=1
(2) 点(a,b)到直线 4x-3y-11=0 的距离为 |4a-3b-11|/5.
(a,b)在椭圆上，将其参数方程 a=2cost, b=sint 代入距离公式
r(t)=|8cos t-3sin t-11|/5
求f(t)=(5 r(t))^2=(8 cos t-3sin t-11)^2的最小值。
令 f'(t)=2(8cos t-3sin t-11)(-8sin t -3cos t)=0, 解得
t0=arctan(-3/8)。代入距离公式，得到结果。

Answer 2

对于直线：变形得：
t = (x-2)* 5/3 = (y+1)*5/4，再整理得 4x - 8 = 3y+3=>
4x-3y-11 = 0
对于曲线：有 (x/2)² + y² = 1，这是一个椭圆
（2）设一条直线为4x-3y+k=0，它和l平行，把它代入椭圆方程求相切时k值，即可求出最小距离。
先变形椭圆方程为 9x²/4 + 9y² = 9，把3y = 4x+k代入
9x²/4 + (4x+k)² = 9
这是一个关于x的一元二次方程，求使判别式为0的k即可
整理得：
73x²/4 + 8kx + k² - 9 = 0
Δ = 64k² - 73k² + 73*9 = 0
k² = 73
所以问题变成了，平行线
4x-3y-11 = 0
4x-3y-根号73 = 0之间的距离
利用平行线间的距离公式：
(11 - 根号73) /5