Question

设函数f（x）=alnx+bx^2+x在x1=1，x2=2.处都取得极值，试求出a，b的值

并问此时在x1,x2处取得极大值还是极小值。a求出来等于-2/3，b=-1/6.答案是x1处取极小值，x2处取得极大值，但是我自己算出来是x1极大值x2极小值，求这题求极大极小值的方法

Answer 1

f(x)=alnx+bx²+x
一阶导数 f' (x) = a/x + 2bx +1
当 f' (x) = 0时取得极值，即： a/x + 2bx +1=0
整理得：
2bx² +x +a =0 ①
根据题意可知： x1=1，x2=2是该方程的两个实根，分别代入可得：
2b +1 +a =0
8b +2 +a =0
由以上两式可以解得： a=-2/3， b=-1/6
此时方程①的表达式是：
(-1/3)x² +x -2/3 =0，即 -x² +3x -2 =0
可知该抛物线开口向下
当 1<x<2 时，f' (x) >0
当 x<1 或者 x>2，f' (x) < 0
因此可知：
在x1=1处 函数f(x)取得极小值 （因为在x1=1邻域内其导数值开始从负转正，意味着函数值从递减转为递增，当然是达到极小值）
在x2=2处 函数f(x)取得极大值