Question

数学均值不等式问题

Answer 1

证明:1/a-1
=
(1-a)/a
=
(b+c)/a.
所以原式等于(b+c)/a*(c+a)/b*(a+b)/c
=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc).
分子展开，原式
=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc)/(abc).
=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)/(abc)+2
对a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2运用均值不等式，得
a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2>=6*(6次根号下(a2b*ab2*b2c*bc2*c2a*ca2))
=6abc.
即原式>=6+2=8.证毕。

Answer 2

(1+a)(1+b)(1+c)
=(a+a+b+c)(b+b+a+c)(c+c+a+b)
=[(a+b)+(a+c)][(a+b)+(b+c)][(a+c)+(b+c)]
>=2√[(a+b)(a+c)*2√[(a+b)(b+c)*2√[(a+c)(b+c)]
=8(a+b)(b+c)(a+c)
=8(1-a)(1-b)(1-c)
当且仅当a+b=a+c=b+c时等号成立
即a=b=c时等号成立
故证毕