Question

三角形ABC中，a(cosB+cosC)=b+a,求证此三角形为直角三角形

Answer 1

右边应该是b+c。
由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以a/sinA=(b+c)/(sinB+sinC)，所以由a(cosB+cosC)=b+c得sinA(cosB+cosC)=sinA+sinC。
sin(B+C)(cosB+cosC)=(sinB+sinC)
。
(sinBcosC+cosBsinC)(cosB+cosC)=sinB+sinC。
sinBcosBcosC+sinB(cosC)^2+(cosB)^2sinC+cosBsinCcosC=sinB+sinC
。
sinBcosBcosC+cosBsinCcosC=sinB-sinB(cosC)^2+sinC-(cosB)^2sinC。
cosBcosC(sinB+sinC)=sinB(sinC)^2+(sinB)^2sinC
。
cosBcosC(sinB+sinC)=sinBsinC(sinB+sinC)
。
(cosBcosC-sinBsinC)(sinB+sinC)=0
。
cos(B+C)(sinB+sinC)=0
。
因为sinB+sinC＞0
，所以cos(B+C)=0
。
B+C=90°，A=90°，三角形ABC是直角三角形。