Question

证明：一个三角形的两个角的角平分线相等，这个三角形是等腰三角形。

Answer 1

主要是用反证法：
已知,△ABC中,BD,CE是角平分线,若BD=CE,
求证:AB=AC
证明:设AB<AC,则∠ABC>∠ACB,(同一三角形中,大角对大边)
从而∠ABD>∠ACE.
在∠ABD内作∠DBF=∠ACE,
则在△FBC中,∠FBC>∠FCB,
得:FB<FC.
在CF上取CH=BF,过H作HK∥BF交CE于K,
在△BFD和△CHK中,
BF=CH,∠BFD=∠CHK,∠FBD=∠HCK
∴△BFD≌△CHK
∴BD=CK<CE,与已知BD=CE矛盾.
又若AB>AC,同理可得BD>CE,也与BD=CE矛盾
所以假设错误.
∴AB=AC
即三角形ABC中角A和角B的平分线相等,
则三角形是等腰三角形.