Question

f(a-x)+f(a+x)=2b关于(a,b)成中心对称，怎么证明？

Answer 1

函数y=f(x)满足f(a-x)+f(a+x)=2b
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设（m,n)是函数y=f(x)图象上任意一点，该点关于点（a,b）对称的点的坐标是（c,d)
那么，点（a,b)是点(m,n)与点(c,d)的中点
即：m+c=2a,n+d=2b
令x0=a-m,则m=a-x0,c=a+x0
点（m,n)在函数y=(x)的图象上，那么：n=f(m)=f(a-x0)
所以，d=2b-n=2b-f(a-x0)=f(a+x0)=f(c)
即
点（c,d
)也在函数y=f(x)的图象上
则，函数y=f(x)的图象关于点（a,b)对称
，即图象关于（a,b)成中心对称

Answer 2

证明:
(1)当x=a时,f(2a)+f(0)=2b,x=-a时,f(0)+f(-2a)=2b;则f(2a)=f(-2a),即f(x)关于(a,0)对称;
(2)当a=0时,f(x)+f(-x)=2b,同时,x=b时,f(b)+f(-b)=2b;当x=-b,f(-b)+f(b)=2b;则有在a=0时,f(-b)=f(b),即有f(x)关于(0,b)对称;
综上所述,函数f(x)的图象关于(a,b)点中心对称.