Question

哪位高手证明一道高中题啊，a、b、c均为正数 a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²≥6√3

Answer 1

确定符号没有错吗？
有x²+3/x²≥
2√3
则若要证明题目，只需证
a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²
≤
a²+3/a²+b²+3/b²+c²+3/c²
整理得
2/ab+2/bc+2/ac≤2/a²+2/b²+2/c²
因为有
1/a²+1/b²
≥
2/ab
1/a²+1/c²
≥
2/ac
1/c²+1/b²
≥
2/bc
不等式左右分别相加则可证明上面等式成立

Answer 2

分析：a、b、c均为正数
a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²≥6√3
(a²+b²+c²)/3≥3次[根号(a²b²c²)]
[(1/a+1/b+1/c)/3]²≥3次[根号1/(a²b²c²)]
所以，
a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²
≥3*3次[根号(a²b²c²)]+9*3次[根号1/(a²b²c²)]
≥2√(3*9)=6√3
常用均值不等式：
√(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)/3≥3次√abc≥3/(1/a+1/b+1/c)
当且仅当
a=b=c
取等号。

Answer 3

已知a、b、c均为正数
，求证a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²≥6√3
证明：a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²=a²+b²+c²+(1/a²)+(1/b²)+(1/c²)+2(1/ab+1/bc+1/ac).........(1)
由于1/a²+1/b²≧2/ab；1/b²+1/c²≧2/bc；1/a²+1/c²≧2/ac；(a=b=c时等号成立)三式相加得：
2(1/a²+1/b²+1/c²)≧2(1/ab+1/bc+1/ac)，即有1/a²+1/b²+1/c²≧1/ab+1/bc+1/ac，代入(1)式得：
a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²≧a²+b²+c²+3(1/ab+1/bc+1/ac)≧6[a²b²c²(3/ab)(3/bc)(3/ac)]^(1/6)
=6(27)^(1/6)=6(3³)^(1/6)=6[3^(1/2)]=6√3
当且仅仅当a=b=c=3^(1/4)时等号成立。