Question

《选修4-5：不等式选讲》设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax...

《选修4-5：不等式选讲》 设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求函数f(x)=a√x-3+b√5-x的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|x-2|＞1，
∴x＞3或x＜1．
∴不等式|x-2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}；
∵不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同，
∴1和3是方程x2-ax+b=0的根，
∴a=1+3=4，b=1×3=3．
（Ⅱ）∵f（x）=4√x-3+3√5-x（3≤x≤5），
∴f′（x）=4×12√x-3-32√5-x=2√5-x-32√x-3√x-3•√5-x，
由f′（x）=0得x=10725．
由f′（x）＞0得，3≤x＜10725，
由f′（x）＜0得，10725＜x≤5．
∴f（x）在[3，10725）上单调递增，在（10725，5]上单调递减，
∴当x=10725时，f（x）取得最大值，
即f（x）max=f（10725）=4√10725-3+3√5-10725=5√2．