Question

求极限lim(2/π arctanx)^x 其中x趋向于正无穷大

Answer 1

设y=[(2/π)arctanx]^x
则：lny=xln[(2/π)arctanx]=x[ln(2/π)+lnarctanx]
lim[x→+∞]
lny
=lim[x→+∞]
x[ln(2/π)+lnarctanx]
=lim[x→+∞]
[ln(2/π)+lnarctanx]/x⁻¹
洛必达法则
=lim[x→+∞]
-{1/[(1+x²)arctanx]}
/
x⁻²
=lim[x→+∞]
-x²/[(1+x²)arctanx]
=lim[x→+∞]
-1/[(1/x²
+
1)arctanx]
=-2/π
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Answer 2

你好！
取对数得
lim
x
ln
(2/π
arctanx
)
=lim
x
ln
{
2/π
[π/2
-
arctan(1/x)
]
}
=
lim
[
ln
(1
-
2/π
arctanu
)
]
/
u
【令u=1/x】
=
lim
-2/π
arctanu
/
u
【∵x→0时，ln(1+x)
~
x】
=
-
2/π
【∵arctanx
~
x】
故原式
=
e^(-2/π)