Question

若 ( x - 2 x ) n 的展开式中第三项是常数项，则n=______，展开式中各项的系

若 ( x - 2 x ) n 的展开式中第三项是常数项，则n=______，展开式中各项的系数和为______．

Answer 1

根据题意，
(
x
-
2
x
)
n
的通项为T
r+1
=C
n
r
（
x
）
n-r
?（-
2
x
）
r
=（-1）
r
?C
n
r
（2）
r
?（
x
n-3r
2
）
由题意，第三项是常数项，则有r=2时，T
3
=（-1）
2
?C
n
2
（2）
2
?（
x
n-6
2
）=4C
n
2
?（
x
n-6
2
），为常数项，
即
n-6
2
=0，解可得n=6；
则该二项式为（
x
-
2
x
）
6
，令x=1可得，可得（1-
2
1
）
6
=1，
则其展开式中各项的系数和为1．
故答案为：6；1．