Question

数学建模，希望数学系的高手解答~~谢谢！！

深洞的估算： 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的 方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1.如果不计空气阻力 2.如果受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05 3.如果受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025 4.在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 题目就是这样的，好像很难~~~~~~~~等高手哦！！！

Answer 1

设速度为v,时间为t，距离为h，加速度为
a
1.
a=g
v=at,dh/dt=v
=>
h=1/2*a*t^2
故
H=1/2*g*T^2=1/2*9.8*5^2=122.5m
2.
ma=mg-k1*v
dv/dt=a
=>
dv/dt=g-k1*v/m
=>
v=(g/k1*m)*(1-exp(-k1/m*t))
dh/dt=v
=>
h=g*m*(k1*t+m*exp(-k1/m*t)-m)/k1^2
故
H=g*m*(k1*t+m*exp(-k1/m*T)-m)/k1^2
代入数据
3.
ma=mg-k1*v^2
dv/dt=a
=>
dv/dt=g-k1*v^2/m
=>
v=tanh((g*m*k1)^(1/2)*t/m)*(g*m*k1)^(1/2)/k1
dh/dt=v
=>
h=-1/2/k1*m*log(tanh((g*m*k1)^(1/2)*t/m)-1)-1/2/k1*m*log(tanh((g*m*k1)^(1/2)*t/m)+1)+1/2*i*m*pi/k1
故
H=-1/2/k1*m*log(tanh((g*m*k1)^(1/2)*T/m)-1)-1/2/k1*m*log(tanh((g*m*k1)^(1/2)*t/m)+1)+1/2*i*m*pi/k1
考虑声速
设声速为vs
1.
T0=T-H/vs
下落时间
H=g*m*(k1*t+m*exp(-k1/m*T0)-m)/k1^2
求得H=
vs*(k1*T+(-lambertw(-g*m/k1/vs*exp(-(-g*m*k1*t+g*m^2+k1^2*T*vs)/k1/m/vs))-(-g*m*k1*t+g*m^2+k1^2*T*vs)/k1/m/vs)*m)/k1
代入数据
其他同理，想法很简单，但是计算比较复杂。
上述计算采用matlab完成。