Question

求助3道高一数学题

一. 已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式 二.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点 三.若f(x)=x^2-x-b,f(log2a)=-b,log2f(a)=a,a≠1 (1)求f(log2x)的最小值及对应的x的值 (2)x取何值时log2f(x)<f(1) 注:log2f(x)之类的对数函数中2为底数 有简略的过程就可以了,谢谢!!!!

Answer 1

一
已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式
解：设f(x)=ax^2+bx+c
由于f(x)+g(x)为奇函数
所以f(0)+g(0)=-{f(0)+g(0)}
所以f(0)+g(0)=0
化得：a*0^2+b*0+c-0^2-3=0
所以：c=3
有f(x)+g(x)为奇函数又可以推出：
对于任何的实数都有
f(x)+g(x)=-{f(-x)+g(-x)}
化得：-x^2-3+ax^2+bx+3=-{-x^2-3+ax^2-bx+3}
-x^2-3+ax^2+bx=x^2-3-ax^2+bx
所以（2-2*a）x^2=0
由于对任意的x属于R都成立
所以（2-2*a）=0
得：a=1
所以f(x)=x^2+bx+3
由于f(x)在[-1,2]存在最小值为1
二次函数的特征可以知道
要使得取得最小值
只有可能在对称轴上，或想x=-1或则x=2
假设在对称轴上
则有f（-b/(2a)）=f（-b/2）=(b^2/4)-(b^2/2)+3=1
得：b^2=8
b=+2*根号2，-2*根号2
-b/2*a=根号2或者-根号2
由于(-根号2)不在xx属于[-1,2]下
所以不可能取得即b=+2*根号2不满足
假设是在x=-1取得
代入f（-1）=1-b+3=1
所以b=3
则对称轴位置为—（b/2a）=-3/2
此时x属于[-1,2]都在对称轴的右边
所以x属于[-1,2]在x=-1处取的最小值满足
所以b=3可行
假设在x=2处取的最小值
则f（2）=4+2b+3=1
所以b=-3
此时对称轴-（b/2a）=3/2
此时对称轴在x属于[-1,2]之内
所以最小值应该在对称轴位置取得
与假设矛盾舍去
综上所述
f（x）=-x^2-2根号2x+3
或者f（x）=-x^2+3x+3
二.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点
解：f(1)=a+b+c=0
b=-a-c
a>0,c<0△=b^2-4ac=(-a-c)^2-4ac=a^2
-
2ac
+
c^2
=(a-c)^2
因为a>b>c
a不等于c
所以(a-c)^2>0所以△>0
所以f(x)的图象与x轴有两个相异交点，故有两个零点
三.若f(x)=x^2-x-b,f(log2a)=-b,log2f(a)=a,a≠1
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x的值
(2)x取何值时log2f(x)<f(1)
注:log2f(x)之类的对数函数中2为底数
解:
(1)∵f(x)=x^2-x+b,
∴f(log2a)=(log2a)^2-log2a+b.
由已知有
(log2a)^2-log2a+b=b,
∴(log2a-1)log2a=0.
∵a≠1,∴log2a=1.∴a=2
又
log2[f(a)]=2,∴f(a)=4
∴a^2-a+b=4,b=4-a^2+a=2.
故
f(x)=x^2-x+2,
从而
f(log2x)=(log2x)^2-log2x+2=(log2x-1/2)^2+7/4
∴当
log2x=1/2即x=根号2时，有最小值7/4
即
x=
2
时,f(log2x)有最小值
(2）由题意得log2x
+
2
>
2
和log2(x^2-x+2)<2
得到x
>
2或0
<
x
<
1
-1<x<2
所以x取0<x<1