Question

求这道题用极坐标怎么解

Answer 1

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

法一

法二

追问

为什么不能用0到2派来求

大减小我会，我想知道这题用极坐标的解法

追答

由于对称性，
那个1/4圆就是极坐标

追问

帮我看下我的这种解法问题在哪

追答

追问

为什么要用0到2分之派乘以8而不能用0到2派，我性质可能没学好，能详细讲讲吗

追答

追问

明白了，谢谢！！

Answer 2

根据对称性
∫∫D (x²＋y²)dσ=8∫∫D' (x²＋y²)dσ
D':x²＋y²≥1，0≤x≤2，0≤y≤x
化成极坐标x=rcosθ，y=rsinθ，代入积分区域D'可得
r²≥1 → r≥1
0≤rcosθ≤2 → 0≤r≤2secθ
0≤rsinθ≤rcosθ → 0≤θ≤π/4
所以θ∈[0，π/4]，r∈[1，2secθ]
8∫∫D' (x²＋y²)dσ
=8∫(0，π/4) dθ∫(1，2secθ) r³dr
=2∫(0，π/4) [16(sec²θ)²–1]dθ
=32∫(0，π/4) (tan²θ＋1)d(tanθ)–π/2 ①
=32(1/3 tan³θ＋tanθ)|(0，π/4)–π/2
=128/3–π/2
注:①(secθ)^4dθ=sec²θd(tanθ)=(tan²θ＋1)d(tanθ)