Question

已知函数f(x)=a-2/2^x+1(1).判断函数f(x)的单调性,并证明；(...

已知函数f(x)=a-2/2^x+1 (1).判断函数f(x)的单调性,并证明；(2).若f(x)为奇函数,求实数a的值

Answer 1

(1)
f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数
证明：（用定义法证明函数的单调性）
任取x1,x2∈R,且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵y＝2^x在(－∞,＋∞)上递增,而x1＜x2
∴2^x1＜2^x2
∴(2^x1)－(2^x2)＜0
又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数
(2)
f(x)为奇函数,则f(0)＝a－[2/(2^0＋1)]＝a－1＝0
∴a＝1
经检验,a＝1时,f(x)是奇函数.