Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1...

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0． （1）证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增； （2）解不等式f（x+12）＜f（1-x）； （3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．
∴任取x1，x2∈[-1，1]，且x2≥x1，
则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)•（x2-x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x+12）＜f（1-x），
∴-1≤x+12≤1-1≤1-x≤1x+12＜1-x，解得0≤x＜14，
∴不等式f（x+12）＜f（1-x）的解集为[0，14）．
（3）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
∴t2-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
把y=t2-2at看作a的函数，
由a∈[-1，1]，知其图象是一条线段，
∴t2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t2-2×(-1)×t≥0t2-2×1×t≥0，即t2+2t≥0t2-2t≥0，
解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
故实数t的取值范围是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．