Question

如何证明有界不收敛数列必存在两个子列收敛于不同极限？

Answer 1

证明有界不收敛数列必存在两个子列收敛于不同极限方法如下：

根据B-W定理存在一个子列an收敛于a，而由于数列不收敛你可以构造出一个满足|bn-a|>ε子列bn，而bn也是有界的，所以bn中有某个收敛的子列，而这个子列的极限不等于a。

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

数列收敛<=>数列存在唯一极限。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。