Question

将函数f(x)=x在[0,π]上展成正弦级数？

Answer 1

先将f(x)解析延拓至[-π,π]，则f(x)=x在[-π,π]上是奇函数

所以f(x)=x可分解为傅里叶级数（正弦级数）：

f(x)=∑(n=1->∞) bn*sin(nx)

其中bn=(1/π)*∫(-π,π) x*sin(nx)dx

=(2/π)*∫(0,π) x*sin(nx)dx

=(-2/nπ)*∫(0,π) xd[cos(nx)]

=(-2/nπ)*{[x*cos(nx)]|(0,π)-∫(0,π) cos(nx)dx}

=(-2/nπ)*[π*(-1)^n-(1/n)*sin(nx)|(0,π)]

=(-1)^(n+1)*(2/n)

所以f(x)=∑(n=1->∞) (-1)^(n+1)*(2/n)*sin(nx)，x∈[0,π]