Question

概率分布F(x)和概率密度f(x)

Answer 1

从数学上看，分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密
度”一词可以由此理解。

假设有一元随机变量X,如果X是连续随机变量，那么可以定义它的概率
密度函数(probability density function, PDF) f(x),有时成为密度函数。

我们用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

如果X是离散型随机变量，那么可以定义它的 概率质量函数（probability mass function, PMF）pX(x)。概率质量函数 (Probability Mass Function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。 即，它本身就是一个概率值**。

与连续型随机变量不同，这里的PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律，即

两张图一对比，你就会发现，如果用右图中的面积来表示概率，利用图形就能很清楚的看出，哪些取值的概率更大！所以，我们在表示连续型随机变量的概率时，用f(x)概率密度函数来表示，是非常好的！

但是，可能读者会有这样的问题：

Q：概率密度函数在某一点的值有什么意义？

A：比较容易理解的意义，某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.

比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.

某一点的速度, 不能以为是某一点的距离

没意义,因为距离是从XX到XX的概念

所以, 概率也需要有个区间.

这个区间可以是x的邻域（可以无限趋近于0）。对x邻域内的f（x）进行积分，可以求得这个邻域的面积，就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

而不管X是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的 累积分布函数（cumulative distribution function ,CDF） FX(x)，有时简称为 分布函数 。

，那么分布函数CDF(FX(x))就是密度函数PDF(fX(t))的积分，PDF就是CDF的导数。

对于离散型随机变量，其CDF是阶梯状的分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF如下

正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是：

随着参数μ和δ变化，概率分布也产生变化。

随机变量X的n阶 矩 是X的n次方的 期望值 ，即

对概率密度函数作 类似傅利叶变换 可得 特征函数 。