Question

《量子力学》波函数与薛定谔方程

Answer 1

选自曾谨言

小记：从实空间到倒空间，是顺时针，乘上 。

对于普通的单色平面波有， 其傅里叶变换则有

如果是Gauss波包，其傅里叶变换也是一个波包。且波包宽度 和 之间满足不确定性关系。

除此以外，傅里叶变换可以保留波函数的归一化性质。

相速度： 等相面运动的速度

群速度： 波包中心的运动速度

总结：相速度是相位的移动速度，实际上就是振幅的传播速度。
而群速度是振幅的变化的移动速度，可以理解为波包的传播速度。

推广到de Brogile波，有 ，可得

发现，物质波的群速度就是经典粒子的运动速度。

同样，一个物质波可以看做一个波包，由多个单色平面波叠加而成。因此，根据de Brogile关系，可以认为
，能量（动量）是不确定的，具有一个分布。波包的概念天然得适应不确定性关系。

推导思路：
色散关系可以用Taylor展开式展开到二阶，代入到波包的单色平面波傅里叶展开式中。波包可以简单取Gauss波包(k空间)，得到最终 ，计算其强度分布 和宽度 ，发现宽度是随着时间不断增大的，即不断扩散。

基于这个结论，我们发现，物质波的色散关系是存在二阶项系数的，这就意味着，物质波包必然要扩散，这是反常理的。

波函数的统计诠释： 正比于在该点附近小体积元处找到粒子的概率，该统计诠释解决了物质波包扩散、单个电子波动性、粒子性与波动性统一的问题 。
实际上，电子表现出的粒子性只是其中一部分：即有确切的质量、电荷，但是并不意味着有确定运动轨道；电子的波动性也只是相干叠加性。

波函数根据统计诠释，有 归一化条件 ： 同时，由于我们更关注相对的概率分布，因此，通常表示为平方可积条件：
除了相对概率，波函数还存在 相位不定性 ，即系数乘上 依然是归一化的，所以我们认为相位有无，其都描述的是同一个概率波。

对于多粒子体系，其波函数表示为 ，即多维位形空间中的概率波。

入射粒子可以看做是一个物质波波包，由许多单色平面波叠加而成。而动量具有关系 ，
因此，我们可以将波函数进行平面波（按照动量）展开，有 其具有对应的逆变换就是 ， 就代表了波函数 中所含平面波 的成分。

实验实现粒子的动量分布测量 ：电子衍射实验有 ，即衍射出射角度 与入射粒子的动量 有关。而该动量的概率就是入射波的对应Fourier分波波幅 ，其越大，则衍射强度越大。所以我们可以根据衍射波谱得到衍射前粒子动量的分布概率。