Question

试证 对于任何实数a,b,成立不等式|a+b|/(1+|a+b|)

Answer 1

您好!
构造函数f(x)=x/(1+x)
显然在[0,+∞)上这是一个增函数.
对于正数a,b
|a-b|<|a+b|
故|a-b|/(1+|a-b|)<|a+b|/(1+|a+b|)
所以只需证明a,b都是正数的情况.（a、b都是负数是一样的,因为有绝对值）
a,b都是正数,就可以去掉绝对值
相当于要证(a+b)/(1+a+b)≤a/(1+a)+b/(1+b)
右边通分,等价于证(a+b)/(1+a+b)≤(a+b+2ab)/(1+a+b+ab)
移项,等价于证(1+a+b+ab)/(1+a+b)≤(a+b+2ab)/(a+b)
分离整数部分,等价于证1+ab/(1+a+b)≤1+2ab/(a+b)
等价于证1/(1+a+b)≤2/(a+b)
等价于证a+b≤2+2a+2b
上式是显然的.证毕
如果认为讲解不够清楚,请追问.如果满意,请采纳,谢谢!
祝：学习进步!