Question

a,b,c是互不相同的质数，且a*b-c=29，那么a*b*c的最小值是多少?

a,b,c是互不相同的质数，且a*b-c=29，那么a*b*c的最小值是多少?

Answer 1

a，b，c是不同的质数，里面最多有一个偶数2.
如果里面没有偶数，则ab与c都是奇数，两个奇数的差是偶数，与29矛盾。所以，a，b，c中必有一个是偶数。
如果c=2，则ab=29十2=31，31是质数，不能分解为两个质数的积。所以c≠2。
a，b相乘，满足交换律，a=2或b=2都可以，a，b互换即可。
所以，设a=2
b=(29十c)/2
abc=2(29十c)c/2
=c(c十29)
这是抛物线，开口向上，顶点-14.5，现在c〉0,在抛物线右支，单增。所以，当c取最小的值时，积最小。
c=3,b=(29十c)/2
=16,不合题意;
c=5，b=(29十5)/2=17，满足题意。
a=2，b=17，c=5
abc最小值170