Question

7.求曲线 y=(x+e^x)^(1/x) 的渐近线.

Answer 1

让我们来求曲线y=(x+e^x)^(1/x)的渐近线。首先，我们需要确定渐近线的定义域。

对于y=(x+e^x)^(1/x)，要使它有定义，x必须大于0，因为当x≤0时，1/x是无定义的。

对于x>0，y=(x+e^x)^(1/x)的值始终大于0，因为当x>0时，x+e^x>0，所以y=(x+e^x)^(1/x)>0。

所以，y=(x+e^x)^(1/x)的定义域为(0,+∞)。

接下来，我们需要求出y=(x+e^x)^(1/x)的极限值。当x趋近于+∞时，x+e^x也趋近于+∞，所以y=(x+e^x)^(1/x)趋近于1。

所以，y=(x+e^x)^(1/x)的渐近线是y=1。

因此，曲线y=(x+e^x)^(1/x)的渐近线是y=1。

Answer 2

y = (x+e^x)^(1/x) , 定义域 x+e^x > 0
垂直渐近线 x = 0。

x→-∞ 不满足定义域。
lim<x→+∞>(x+e^x)^(1/x) = lim<x→+∞>e^[(1/x)ln(x+e^x)]
= e^lim<x→+∞>[ln(x+e^x)/x] （∞/∞）
= e^lim<x→+∞>[(1+e^x)/(x+e^x)] （∞/∞）
= e^lim<x→+∞>[(e^x)/(1+e^x)] （∞/∞）
= e^lim<x→+∞>[(e^x)/(e^x)] = e
水平渐近线 y = e