数列an中a1=1/2,前n项和Sn=n^2an-n(n-1),n=1,2,………
数列an中a1=1/2,前n项和Sn=n^2an-n(n-1),n=1,2,………
Sn=n^2an-n(n-1)
Sn=n^2(Sn-S(n-1))-n(n-1)
(n^2-1)Sn = n^2S(n-1) - n(n-1)
(n^2-1)Sn / [n(n-1)] = [n^2S(n-1) - n(n-1)]/[(n(n-1)]
[(n+1)/n]Sn - [n/(n-1)]S(n-1) =1
{(n+1)*Sn/n}是等差数列, d=1
数列{An}的前n项和为Sn,已知a1=1/2,Sn=n^2An-n(n-1),n=1,2.
Sn=n^2An - n(n-1)
Sn-1=(n-1)^2An-1 - (n-1)(n-2)
n>=2,An=Sn-sn-1=[n^2An - n(n-1)]-[(n-1)^2An-1 - (n-1)(n-2)]
An=n^2An-(n-1)^2An-1-2n+2
An=(n-1)/(n+1)An-1 +2/(n+1)
A2=1,A3=1.....
可以证明 An=1
所以 Sn=Sn-1 +1 （n>=2)
Sn=n
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n^2an-n^2(n-1),且a1=1/2 （1）令bn=n+1/n *Sn，证明bn-bn-1=n(n≥2）
你的写法绝对有问题。。。害我走了很多弯路，以下[ ]表示下标
b[n]-b[n-1]=(n+1)S[n]/n-nS[n-1]/(n-1)=(通分)=((n²-1)S[n]-n²S[n-1])/n(n-1)
∵S[n]-S[n-1]=a[n]
∴原式=(n²a[n]-S[n])/n(n-1)
∵n²a[n]-S[n]=n²(n-1)
∴原式=n²(n-1)/n(n-1)=n
数列an中前n项和Sn,a1=4,n≥2时,an=[√Sn+√S(n-1)]/2,求an
a1=4>0，n≥2时，an的表示式为两算术平方根之和 的一半，又算术平方根恒非负，因此{an}各项均非负，√Sn恒有意义。
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=[√Sn+√S(n-1)]/2
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]=[√Sn+√S(n-1)]/2
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1) -1/2]=0
只有当√Sn=0，√S(n-1)=0时，√Sn+√S(n-1)=0，又√S1=√a1=√4=2>0，因此√Sn+√S(n-1)恒>0
等式两边同除以√Sn+√S(n-1)
√Sn-√S(n-1)- 1/2=0
√Sn-√S(n-1)=1/2，为定值。
√S1=√a1=√4=2，数列{√Sn}是以2为首项，1/2为公差的等差数列。
√Sn=2+(1/2)(n-1)=(n+3)/2
Sn=(n+3)²/4
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(n+3)²/4 -(n+2)²/4=(2n+5)/4
n=1时，a1=(2+5)/4=7/4≠4
数列{an}的通项公式为
an=4 n=1
(2n+5)/4 n≥2
数列｛an｝的前n项和为sn 且a1=1/2 sn=n2/(n2-1)Sn-1+n/n+1（n≥2）
S1=a1=1/2
S2=(4/3)S1+(2/3)=4/3
S3=(9/8)S2+(3/4)=9/4
S4=(16/15)S2+(4/5)=16/5
猜想: Sn=n²/(n+1)
数学归纳法证明：
假设：Sk=k²/(k+1)，k≥2，
由已知，S(k+1) = {(k+1)²/[(k+1)²-1]}Sk + (k+1)/(k+2)
= [(k+1)²/(k²+2k)][k²/(k+1)] + (k+1)/(k+2)
= k(k+1)/(k+2) + (k+1)/(k+2)
= (k+1)²/(k+2)
= (k+1)²/[(k+1)+1]
即当k+1时，Sn=n²/(n+1)的结论仍然成立，
故猜想正确。
Sn为数列{an}的前n项和。a1=1,Sn=nan-2n(n-1)
解
当n>=2时
sn=nan-2n(n-1)=nan-2n²+2n
s(n-1)=(n-1)a(n-1)-2(n-1)(n-2)
=(n-1)a(n-1)-2n²+6n-4
∴
an=nan-(n-1)a(n-1)-4n+4
(n-1)a(n-1)=(n-1)an-4(n-1)
两边除以(n-1)
∴an-a(n-1)=4
又a1=1
∴an是以a1=1为首项，d=4为公差的等差数列
∴an=1+4(n-1)=4n-3
1/ana(n+1)=1/(4n-3)(4n+1)=1/4[1/(4n-3)-1/(4n+1)]
TN=1/4[(1-1/5)+(1/5-1/9)+……+(1/(4n-3)-1/(4n+1))]
=1/4[1-1/(4n+1)]
=1/4[4n/(4n+1)]
=n/(4n+1)
数列前N项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1)
Sn=nan-2n(n-1),那么S(n-1)=(n-1)a(n-1)-2(n-1)(n-1-1)。而Sn是前n项和，所以an=Sn-S(n-1)=nan-(n-1)a(n-1)-4(n-1)，化简得到an-a(n-1)=4，所以an是等差数列，公差为4.因为a1=1，所以an=a1+4(n-1)=4n-3，将an代入Sn的等式中，得到Sn=n(4n-3)-2n(n-1)=2n^2-n
设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=Sn/n+2(n-1)
题目中Sn=Sn/n+2(n-1)应该是an=Sn/n+2(n-1)**
用a[n]表示第n项
1)a[n]=S[n]/n+2(n-1)
S[n]=na[n]-2n(n-1)
S[n-1]=(n-1)a[n-1]-2(n-1)(n-2)
当n≥2时两式相减:a[n]=S[n]-S[n-1]=na[n]-(n-1)a[n-1]-4(n-1)
整理可得:a[n]-a[n-1]=4
{a[n]}是以a[1]=1,d=4的等差数列
于是:a[n]=1+4(n-1)=4n-3
S[n]=n(a[1]+a[n])/2=2n^2-n.
2)1/(a[n]a[n+1])=(1/a[n]-1/a[n+1])/d=1/4*(1/a[n]-1/a[n+1])
T[n]=1/4*[1-1/5+1/5-…+1/(4n-3)-1/(4n+1)]=1/4[1-1/(4n+1)]＜1/4
又T[n]递增,T[n]≥T[1]=1/5
∴1/5≤Tn＜1/4.
3)S[n]/n=2n-1,S1/1=1,{S[n]/n}是等差数列，首项为1，公比为2
S[1]+S[2]/2+…+S[n]/n-(n-1)^2=n^2-(n-1)^2=2n-1=2009
∴n=1005.
**若S[n]=S[n]/n+2(n-1)
于是:(n-1)S[n]/n=2(n-1)
即:n≥2时，S[n]=2n
于是:a[1]=1,a[2]=3,a[n]=2,n≥3,这不是等差数列.
这样可以么？
设sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,an=S(n-1)(n≥2)则Sn=?
an=S(n-1) (n≥2)
a(n-1)=S(n-2)
……
an-a(n-1)=a(n-1)
an=2a(n-1)
{an}为a1为首项,q=2的等比数列
Sn=1*(1-2^n)/(1-2)=(2^n)-1
已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n²-n+2)，数列{bn}的首项b1=1，且bn-b(n-1)=1/2^(n-1)(n≥2)
当n≥2时，an=Sn - S(n-1)=1/2(n²-n+2) -1/2[(n-1)²-(n-1)+2]=n-1，
当n=1时，a1=1不适合上式，所以{an}的通项公式为分段的，你自己写吧，不好输入。
由迭加法得：当n≥2时，
bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+[bn-b(n-1)]
=1+1/2+1/2²+…+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)，
当n=1时，b1=1适合上式，
所以{bn}的通项公式为bn=2-1/2^(n-1)。
