Question

初等矩阵的行列式一定不等于0吗？

Answer 1

不一定，第一类初等变换（换行换列）使行列式变号，第二类初等变换（某行或某列乘k倍）使行列式变k倍，第三类初等变换（某行（列）乘k倍加到另一行（列））使行列式不变。

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。

例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。

或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

相关性质：

1、行列互换，行列式不变。

2、一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式。

3、如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等。

4、如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0。

5、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

6、对换行列式中两行的位置，行列式反号。