Question

求微分方程dy/dxxlnxsiny+cosy(1-xcosy）＝0的通解

Answer 1

解:微分方程为xlnxsinydy/dx+cosy(1-xcosy)=0，化为xlnxdcosy/dx+cosy(xcosy-1)=0，设cosy=u，微分方程化为xlnxdu/dx+u(xu-1)=0，xlnxdu/dx+xu²-u=0，xlnxu'+xu²-u=0，xlnxu'/u²-1/u=-x，lnxu'/u²-1/x×1/u=-1，(-lnx/u)'=-1，-lnx/u=-x-c(c为任意常数)，有u=lnx/(x+c)，微分方程的通解为cosy=lnx/(x+c)

用微分方程求解泛函

请参考

Answer 2

dy/dx = -ln(x)sin(y)/(1-xcos(y))
这是一个一阶常微分方程。我们可以尝试使用分离变量的方法来求解它。
将方程重写为：
(1-xcos(y))dy/sin(y) = -ln(x)dx
接下来，对两边同时积分：
∫(1-xcos(y))dy/sin(y) = -∫ln(x)dx
对左侧的积分，我们可以使用换元法来进行求解。令u = cos(y)，则dy = -du/sqrt(1-u^2)，同时sin(y) = sqrt(1-cos^2(y)) = sqrt(1-u^2)。代入后，有：
-∫(1-xu)/u * du/sqrt(1-u^2) = -∫ln(x)dx
对右侧的积分，我们可以直接使用定积分的方法来求解。有：
-∫(1-xu)/u * du/sqrt(1-u^2) = -arcsin(u) + ln(u-1) + C
其中，C为常数。代回原变量，得到：
-arcsin(cos(y)) + ln(sin(y)-xcos(y)+1) = C
这就是原方程的通解。

Answer 3

解:微分方程为xlnxsinydy/dx+cosy(1-xcosy)=0，化为-xlnxdcosy/dx+cosy-xcos²y=0，-xlnxdcosy/dx+cosy=xcos²y，-lnxdcosy/dx×/cos²y+1/x×1/cosy=1，d(lnx/cosy)/dx=1，lnx/cosy=x+c (c为任意常数)，微分方程的通解为cosy=lnx/(x+c)

Answer 4

解：(dy/dx)xlnxsiny+cosy(1-xcosy)=0
cosy(1-xcosy)dx+xlnxsinydy=0
方程两边同乘以(1/x)*sec^2y
[(1/x)*secy-1]dx+lnxtanysecydy=0
因为∂[(1/x)*secy-1]/∂y=∂[lnxtanysecy]/∂x=(1/x)*tanysecy
所以这是全微分方程
∫[(1/x)*secy-1]dx=lnxsecy-x，且∂(lnxsecy-x)/∂y=lnxtanysecy
所以d(lnxsecy-x)=0
lnxsecy-x=C
cosy=lnx/(x+C)
y=arccos[lnx/(x+C)]，其中C是任意常数