Question

椭圆的长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则椭圆的离心率是多少？

Answer 1

设椭圆长轴长为 $a$，短轴长为 $b$，焦距为 $c$。根据椭圆的定义，离心率 $e$ 定义为焦距与长轴之间的比值，即 $e=c/a$。
题目中给出焦距成等比数列，也就是 $c,b,a-c$ 构成等比数列，即 $c/b=b/(a-c)$。由此可以解得 $c=b^2/(a-b)$。
代入离心率的定义式，得到 $e=c/a=b^2/(a^2-ab)=b^2/(a^2-b^2)$。因此，椭圆的离心率为 $b^2/(a^2-b^2)$。

Answer 2

ac=b^2=a^2-c^2 同除a^2, e=1-e^2 e^2+e-1=0 e=（根号5-1）/2