Question

设函数u=u(x,y,z)由方程f(yzu,zux,uxy)=0所确定,求du,grad u？

Answer 1

设函数 u = u(x, y, z) 由方程 f(yzu, zux, uxy) = 0 所确定。您想要求解 du 和 grad u。

首先，我们可以利用全微分的方法求解 du。根据链式法则，我们有：

du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy + (∂u/∂z)dz

然后，我们可以利用梯度的定义来求解 grad u。梯度是一个向量，由函数的偏导数组成。

grad u = (∂u/∂x)i + (∂u/∂y)j + (∂u/∂z)k

在这里，i、j 和 k 分别是坐标轴的单位向量。

由于我无法得知函数 f 的具体形式，因此无法对其进行具体求解。您需要提供函数 f 的具体形式或更多的上下文信息，以便我们可以对方程进行求解并得到对应的 du 和 grad u。

如果您能提供更多的信息或明确的方程形式，我将尽力帮助您进行进一步的计算和求解。

Answer 2

f(yzu, zux, uxy) = 0
两边分别对 x, y, z 求偏导， 注意 u 是 x, y, z 的函数， 得
f'1(yz∂u/∂x) + f'2(zu+xz∂u/∂x) + f'3(yu+xy∂u/∂x) = 0
f'1(zu+yz∂u/∂y) + f'2(xz∂u/∂y) + f'3(xu+xy∂u/∂y) = 0
f'1(yu+yz∂u/∂z) + f'2(xu+xz∂u/∂z) + f'3(xy∂u/∂z) = 0
∂u/∂x = -u(zf'2+yf'3)/(yzf'1+xzf'2+xyf'3)
∂u/∂y = -u(zf'1+xf'3)/(yzf'1+xzf'2+xyf'3)
∂u/∂z = -u(xf'2+yf'1)/(yzf'1+xzf'2+xyf'3)
du = -u[(zf'2+yf'3)dx+(zf'1+xf'3)dy+(xf'2+yf'1)dz]/(yzf'1+xzf'2+xyf'3)
gradu = -u[(zf'2+yf'3)i+(zf'1+xf'3)j+(xf'2+yf'1)k]/(yzf'1+xzf'2+xyf'3)